引言
自回归（AR）模型在时间序列分析中是一种常见的模型，它描述了当前观测值与过去观测值之间的关系。矩估计是参数估计的一种方法，通过样本矩来估计总体矩，进而得到模型参数的估计值。本文将通过实战例题解析，帮助读者轻松掌握AR模型矩估计的计算技巧。
AR模型简介
AR模型的基本形式为： [ Xt = c + \sum{i=1}^{p} \phii X{t-i} + \varepsilon_t ] 其中，( X_t )是时间序列的第( t )个观测值，( \phi_i )是自回归系数，( \varepsilon_t )是误差项，( c )是常数项，( p )是模型的阶数。
矩估计方法
矩估计的基本思想是利用样本矩来估计总体矩。对于AR模型，通常使用样本均值和样本自协方差来估计总体均值和总体自协方差。
1. 样本均值
样本均值是第( t )个观测值的算术平均值： [ \bar{X} = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} X_t ] 其中，( T )是观测值的数量。
2. 样本自协方差
样本自协方差是两个不同时间点的观测值之间的协方差： [ \gammak = \frac{1}{T-k} \sum{t=1}^{T-k} (Xt - \bar{X})(X{t+k} - \bar{X}) ] 其中，( k )是滞后阶数。
实战例题解析
假设我们有以下观测值序列：
[ X_1 = 1, X_2 = 2, X_3 = 3, X_4 = 4, X_5 = 5 ]
我们需要估计AR(1)模型的参数。
1. 计算样本均值
[ \bar{X} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = 3 ]
2. 计算样本自协方差
[ \gamma_1 = \frac{(1-3)(2-3) + (2-3)(3-3) + (3-3)(4-3) + (4-3)(5-3)}{5-1} = -1 ]
3. 解Yule-Walker方程
Yule-Walker方程为： [ \sum_{i=1}^{p} \phii \gamma{i+1} = 0 ] 对于AR(1)模型，Yule-Walker方程为： [ \phi_1 \gamma_2 = 0 ] 代入样本自协方差： [ \phi_1 \cdot (-1) = 0 ] 解得： [ \phi_1 = 0 ]
因此，AR(1)模型的参数估计为( \phi_1 = 0 )。
总结
通过以上实战例题，我们可以看到，矩估计AR模型参数的关键在于计算样本均值和样本自协方差，并解Yule-Walker方程。掌握这些计算技巧，可以帮助我们更好地理解和应用AR模型。