在时间序列分析中，自回归（AR）模型是一种常用的统计模型，它通过描述当前观测值与过去观测值之间的关系来预测未来的值。AR模型的一个重要特征是其均值通常被设定为0。这一设定背后隐藏着深刻的科学原理和数学依据。
AR模型的基本定义
首先，让我们回顾一下AR模型的基本定义。一个p阶自回归模型（AR(p)）可以表示为：
[ x_t = \phi0 x{t-1} + \phi1 x{t-2} + \ldots + \phip x{t-p} + \epsilon_t ]
其中，( x_t ) 是时间序列的当前观测值，( \phi_0, \phi_1, \ldots, \phi_p ) 是自回归系数，( \epsilon_t ) 是误差项，通常假设为白噪声序列，即 ( E(\epsilon_t) = 0 ) 且 ( \text{Cov}(\epsilon_t, \epsilon_s) = 0 ) 对于所有 ( s \neq t )。
均值设定为0的原因
白噪声的假设：在AR模型中，误差项 ( \epsilon_t ) 被假定为白噪声，这意味着它具有零均值。这是为了简化模型，因为白噪声的均值为0是一个基本属性。
模型简化：如果误差项的均值不为0，那么模型中的所有项都会因为误差项的均值而偏移，这会使得模型的估计和预测变得更加复杂。设定均值为0可以简化模型，使得参数估计和预测更加直观。
统计推断的便利性：在统计推断中，假设误差项的均值为0可以简化计算过程。例如，在计算置信区间或进行假设检验时，均值为0的假设可以减少计算量。
数学推导
为了更深入地理解均值为何被设定为0，我们可以进行一些数学推导。
假设AR模型是平稳的，那么其均值 ( E(x_t) ) 可以通过以下方式计算：
[ E(x_t) = E(\phi0 x{t-1} + \phi1 x{t-2} + \ldots + \phip x{t-p} + \epsilon_t) ]
由于 ( E(\epsilon_t) = 0 )，我们可以得到：
[ E(x_t) = \phi0 E(x{t-1}) + \phi1 E(x{t-2}) + \ldots + \phip E(x{t-p}) ]
如果我们将时间序列的初始值 ( x_0 ) 设定为0，那么 ( E(x_0) = 0 )。根据自回归模型的定义，我们可以推导出：
[ E(x_t) = \phi0 E(x{t-1}) + \phi1 E(x{t-2}) + \ldots + \phip E(x{t-p}) = 0 ]
这表明，如果初始值为0，那么整个时间序列的均值也将为0。
结论
AR模型中均值设定为0是一个基于白噪声假设和模型简化的选择。这一设定简化了模型的估计和预测过程，并提供了便利的统计推断。通过数学推导，我们可以看到，如果初始值为0，那么整个时间序列的均值也将保持为0。这一科学原理为AR模型的应用提供了坚实的基础。