引言
自深度学习兴起以来，各种模型层出不穷，其中自回归模型（Autoregressive Model）因其简洁高效的特点在时间序列分析领域得到了广泛应用。AR2模型作为自回归模型的一种，具有较好的预测性能。本文将深入解析AR2模型，特别是其方差推导背后的秘密，帮助读者更好地理解和应用这一模型。
AR2模型概述
AR2模型，全称为自回归二次模型，是一种用于时间序列预测的模型。它假设当前观测值与过去的观测值之间存在线性关系，并通过历史数据来预测未来的趋势。AR2模型的一般形式如下：
[ y_t = c + \phi1 y{t-1} + \phi2 y{t-2} + \epsilon_t ]
其中，( y_t ) 表示时间序列在时刻 ( t ) 的观测值，( c ) 为常数项，( \phi_1 ) 和 ( \phi_2 ) 为自回归系数，( \epsilon_t ) 为误差项。
方差推导
在时间序列分析中，方差是衡量数据波动程度的一个重要指标。对于AR2模型，我们需要推导其预测误差的方差。以下是推导过程：
1. 误差项的方差
首先，我们假设误差项 ( \epsilon_t ) 是独立同分布的，且均值为0，方差为 ( \sigma^2 )。即：
[ \text{Var}(\epsilon_t) = \sigma^2 ]
2. 自回归系数的方差
接下来，我们需要推导自回归系数 ( \phi_1 ) 和 ( \phi_2 ) 的方差。根据最小二乘法，自回归系数可以通过以下公式计算：
[ \phi1 = \frac{\sum{t=1}^n (y_t - \hat{y}t) y{t-1}}{\sum_{t=1}^n (y_t - \hat{y}_t)^2} ] [ \phi2 = \frac{\sum{t=1}^n (y_t - \hat{y}t) y{t-2}}{\sum_{t=1}^n (y_t - \hat{y}_t)^2} ]
其中，( \hat{y}_t ) 为AR2模型的预测值。由于 ( \hat{y}_t ) 是 ( y_t ) 的线性组合，我们可以推导出 ( \phi_1 ) 和 ( \phi_2 ) 的方差：
[ \text{Var}(\phi1) = \frac{\sigma^2}{\sum{t=1}^n (y_t - \hat{y}_t)^2} ] [ \text{Var}(\phi2) = \frac{\sigma^2}{\sum{t=1}^n (y_t - \hat{y}_t)^2} ]
3. 预测误差的方差
最后，我们需要推导AR2模型预测误差的方差。根据公式：
[ \text{Var}(y_t - \hat{y}_t) = \text{Var}© + \text{Var}(\phi1 y{t-1}) + \text{Var}(\phi2 y{t-2}) + 2\text{Cov}(\phi1 y{t-1}, \phi2 y{t-2}) ]
由于 ( c ) 为常数项，其方差为0。又因为 ( \phi_1 ) 和 ( \phi_2 ) 为自回归系数，其方差已知。因此，我们可以将上式简化为：
[ \text{Var}(y_t - \hat{y}_t) = \text{Var}(\phi1 y{t-1}) + \text{Var}(\phi2 y{t-2}) + 2\text{Cov}(\phi1 y{t-1}, \phi2 y{t-2}) ]
根据协方差的性质，我们可以推导出：
[ \text{Cov}(\phi1 y{t-1}, \phi2 y{t-2}) = \phi_1 \phi2 \text{Cov}(y{t-1}, y_{t-2}) ]
由于 ( y{t-1} ) 和 ( y{t-2} ) 是时间序列的观测值，其协方差可以通过以下公式计算：
[ \text{Cov}(y{t-1}, y{t-2}) = \frac{\sum{t=1}^n (y{t-1} - \bar{y}{t-1})(y{t-2} - \bar{y}_{t-2})}{n-2} ]
其中，( \bar{y}{t-1} ) 和 ( \bar{y}{t-2} ) 分别为 ( y{t-1} ) 和 ( y{t-2} ) 的均值。将上述公式代入预测误差的方差公式中，我们可以得到：
[ \text{Var}(y_t - \hat{y}_t) = \phi_1^2 \sigma^2 + \phi_2^2 \sigma^2 + 2\phi_1 \phi2 \frac{\sum{t=1}^n (y{t-1} - \bar{y}{t-1})(y{t-2} - \bar{y}{t-2})}{n-2} ]
结论
本文深入解析了AR2模型，特别是其方差推导背后的秘密。通过推导过程，我们了解到AR2模型的预测误差方差与其自回归系数、误差项方差以及时间序列观测值之间的协方差密切相关。这一结论有助于我们更好地理解和应用AR2模型，提高时间序列预测的准确性。